deux exercices de géométrie dans l’espace

dimanche 11 décembre 2022
par Florent Girod

Deux exercices de géométrie dans l’espace :

Dans un pavé droit

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle (ou pavé droit). I est le point de [EF] tel que $EI=\frac 25 EF$ ; J est le milieu de [FG].

Déterminer et tracer l’intersection des plans (AIJ) et (ABC).
Déterminer et tracer la section du pavé droit par le plan (AIJ). Quelle est la nature du polygone obtenu ?

méthode

pour déterminer une droite (d) d’intersection de deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ , on peut :

déterminer un point commun aux deux plans ;
déterminer une droite parallèle grâce à la propriété : « Si deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont strictement parallèles, tout plan $\mathcal{S}$ qui coupe le plan $\mathcal{P}$ coupe le plan $\mathcal{R$ et les droites d’intersection sont parallèles. »

solution question 1

I et J sont deux points communs aux plans (AIJ) et (EFG).

Ces deux plans ne sont pas confondus puisque $A\notin(EFG)$ , donc ils sont sécants suivant la droite (IJ).

Comme ABCDEFGH est un pavé droit, les plans (EFG) et (ABC) sont parallèles. Or, si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

Le plan (AIJ) coupe donc le plan (ABC) suivant une droite $\Delta$ parallèle à (IJ).