Progression

samedi 9 mai 2020
par  Florent Girod

PROGRESSION POUR LA CLASSE DE TERMINALE

SPECIALITE MATHEMATIQUES

Il s’agit de l’organisation prévisionnelle des cours durant l’année.

Suites numériques

Principe de récurrence

On repart d’activités nécessitant des modélisations par des suites ; ces suites sont-elles arithmétiques ? géométriques ? un peu des deux ?

On verra comment traiter ce type de problème de manière efficace.

Par ailleurs, on s’interrogera comment démontrer rigoureusement les formules relatives aux suites arithmétiques et géométriques ; on introduira à cette occasion le principe de démonstration par récurrence.

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Cours

  1. Raisonnement par récurrence
  2. Comportement global d’une suite

Activités

Diverses activités amenant à des modélisation par des suites numériques :

fiche d’activités de modélisation

pour la 4ème situation, un extrait d’article pour aider à modéliser ; ici, l’article dans son intégralité (l’article dans son entier est d’un niveau très ardu !)

fiche de savoir-faire de 1ère : étudier et représenter une suite numérique

Fiches vertes / Exercices

Pour aller plus loin

Fonctions : compléments sur la dérivation

En partant des connaissances vues en classe de 1ère, il s’agit d’une part d’asseoir l’intérêt du calcul de dérivée d’une fonction dans différents cadres, d’autre part de consolider les techniques de dérivation et de les élargir à d’autres types de fonctions. On introduira à cette occasion le concept de composition de fonctions.

On dérivera la fonction dérivée pour étudier la dérivée seconde en parallèle de l’étude de la convexité.

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Cours

Chap 4 : Dérivation, convexité et continuité

  1. Compléments de dérivation
  2. Convexité : approche graphique
  3. Convexité des fonctions dérivables
  4. Fonctions continues

Activités

Un travail de groupe collaboratif pour maîtriser l’ensemble des formules sur la dérivation.

Pour bien comprendre ce qu’est la tangente à une courbe.

Un problème d’optimisation :

  • On prend une feuille de papier de format 21x29,7. Comment la plier pour former une boîte (sans couvercle), de volume maximal ?

Fiches vertes / Exercices

Pour aller plus loin

Des éléments de dénombrement

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Cours

Chap 9 : Combinatoire et dénombrement

  1. Notion d’ensemble et de cardinal
  2. Combinaisons et k-uplets
  3. Produit cartésien de plusieurs ensembles
  4. Deux principes de dénombrement : additif et multiplicatif
  5. Permutations d’un ensemble
  6. Le célèbre coefficient binomial : " k parmi n "

S’approcher de l’infini pas à pas

L’objectif de la séquence est de s’interroger sur la notion de limite d’une suite, de passer de résultats intuitifs à des concepts cadrés.

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Cours

Chap 2 : Limites de suites

  1. Limite finie ou infinie d’une suite
  2. Limites et comparaison
  3. Convergence de certaines suites

Activités

Après s’être interrogé sur le nombre de diagonales que comporte un polygone (convexe) à n côtés, quelques formules vues en 1ère sont démontrées en utilisant le principe de récurrence.

Ici, les fiches n°1 et 2 pour aborder la notion de limite d’une suite numérique.

Et ici, une fiche pour étudier des suites définies à partir d’une fonction.

Fiches vertes / Exercices

Pour aller plus loin

Et puis ...

  • Activité type "débat scientifique"
    • la suite (-n)^n a-t-elle une limite infinie ?
    • Une suite peut-elle avoir plusieurs limites ?
    • Traduire formellement la notion de limite finie pour une suite
    • Traduire formellement la notion de limite infinie pour une suite
  • Activité type 3 p 23 (Math’x) : suite définie par une fonction
  • Activité type 1 p 28 (Math’x) : suite à expliciter
  • Activité sur la somme des carrés (à partir de la construction d’une pyramide avec des petits cubes)
    • recherche d’une formule explicite en utilisant (k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1 sommé pour k allant de 0 à n.
    • recherche d’une formule en utilisant les "nombres pyramidaux"
    • démonstration de la formule par récurrence
  • Activité de synthèse sur les suites en manipulant des bandelettes de papier

TICE

  • Utilisation du tableur (ou de la calculatrice) pour calculer les premiers termes d’une suite afin d’émettre des conjectures.
  • Calculs par boucle pour une somme du type \sum\limits_{k=0}^{n}k^2
    • écriture d’un algorithme
    • programmation sur calculatrice ou sur XCas

VACANCES DE LA TOUSSAINT

Loi binomiale

Par l’intermédiaire d’une activité de recherche tirée du problème historique dit "problème des partis", on se plongera dans des calculs liés à la loi binomiale.

Ici le parcours loi binomiale pour une approche progressive.

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Cours

Chap 13 : Loi binomiale

  1. Schéma de Bernoulli
  2. Loi binomiale

Activités

Fiches vertes / Exercices

Pour aller plus loin

Du discret au continu : notion de limite d’une fonction

Il s’agit de réinvestir les notions de limites vues dans le cadre des suites numériques pour les fonctions. Le passage à la notion de limite en l’infini est facilement adaptable. Il faudra formaliser de la même manière la notion de limite (finie ou infinie) en un point.

Les méthodes permettant de déterminer les limites de fonctions seront présentées (opérations sur les limites, composition de limites, cas des polynômes et des fractions rationnelles)

Les limites aux bornes de la fonction exponentielle seront étudiées.

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Cours

Chap 3 : Limites de fonctions

  1. Limite d’une fonction à l’infini
  2. Limite d’une fonction en un réel a
  3. Détermination de limites

Activité

Une activité d’introduction à la notion de limite d’une fonction à l’infini.

Fiches vertes / Exercices

Pour aller plus loin

Et puis ...

  • Activité type 2 p 160 (Math’x) : étude des fonctions x\mapsto \frac{2x+5}{x+1} et x\mapsto \frac{sin(x)}x
  • Activité type 3 p 161 (Math’x) : étude de la fonction x\mapsto \frac{1}{x^2} au voisinage de 0
  • Activité type "débat scientifique"
    • une conjecture est proposée : "une fonction admet pour limite" +\infty en +\infty \Leftrightarrow "la fonction n’est pas majorée"
    • Vrai / Faux ?
    • formalisation de la notion de limite en +\infty pour une fonction
  • Activité type 4 p 161 (Math’x) : travail sur la composée de deux fonctions pour l’étude des limites
  • Méthodes concernant les polynômes et les fractions rationnelles en cas de forme indéterminée par les théorèmes généraux
  • utilisation de la table de la calculatrice pour émettre des conjectures sur les limites de fonctions
  • utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique pour traiter la limite de x\mapsto \frac{1}{x^2} en 0 ; utilisation du zoom

Au-delà du plan : l’espace

En partant des résultats connus dans le plan, nous allons généraliser certains résultats en se posant quelques questions comme la définition du parallélisme dans l’espace.

Il faudra être en mesure de choisir le bon cadre pour traiter un exercice de géométrie dans l’espace : cadre vectoriel ou non, repéré ou non.

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Cours

Chap 10 : Vecteurs, droites et plans de l’espace

  1. Positions relatives de droites et de plans
  2. Les vecteurs de l’espace
  3. Repères de l’espace

Fiches

Ex réf

Fiches vertes / Exercices

Pour aller plus loin

Un cours (post bac) sur l’étude de courbes en coordonnées paramétriques.

TICE

Zip - 619 octets
act5p259
Zip - 587 octets
tp15p269
Zip - 887 octets
droite
Zip - 1 ko
plan

Et puis ...

  • Activité type "débat scientifique"
    • dans un cube ABCDEF, peut-on dire que les droites (AB) et (EH) sont parallèles ?
    • comment définir le parallélisme dans l’espace ?
  • Activité type 2 p 304 (Math’x) : vecteurs coplanaires
  • Activité type 3 p 304 (Math’x) : repérer un point dans l’espace
  • Représentation paramétrique d’une droite et d’un plan.
  • utilisation du logiciel de géométrie dynamique pour l’espace : Géospace (avec une autre approche par rapport aux logiciels comme Géogébra et CaRMétal)
  • représentation paramétrique d’une droite : en faisant varier un paramètre, on construit une droite donnée. Même chose pour un plan en faisant varier deux paramètres simultanément.

VACANCES DE NOËL

Du discret au continu : notion de continuité

Il s’agira de formaliser la notion de continuité par une définition précise.

Cette notion de continuité permet, par le théorème des valeurs intermédiaires et ses applications, de justifier l’existence et l’unicité de solutions d’équations sur un intervalle donné.

Outre l’aspect théorique, nous nous attacherons à résoudre de manière numérique ces équations, c’est-à-dire d’en donner des valeurs approchées, à une précision fixée à l’avance.

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Introduction

Une activité d’introduction : le calcul de l’impôt sur le revenu

Cours

Chap 4 : Dérivation, convexité et continuité

  1. Compléments de dérivation
  2. Convexité : approche graphique
  3. Convexité des fonctions dérivables
  4. Continuité

Fiches vertes / Exercices

Pour aller plus loin

Et puis ...

  • Activité type "débat scientifique"
    • après avoir tracé la représentation graphique de la fonction inverse, dites si cette fonction est continue ou pas
    • établir des conjectures, des précisions sur la consigne
    • définir correctement la notion de continuité
  • Activité type 2 p 36 (Math’x) : nombre de solutions d’une équation f(x)=m

TICE

  • détermination théorique de solution d’équation (par le théorème des valeurs intermédiaires) : détermination pratique par différentes méthodes
    • dichotomie (algorithme à créer et à mettre en place sur calculatrice ou XCas)
    • méthode par "balayage" à mettre en place sur tableur ou calculatrice

Primitives, équations différentielles

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Cours

Chap 7 : Primitives, équations différentielles

  1. Équation différentielle y’=f et primitive
  2. Équations différentielles

Activités

Au-delà du plan : l’espace

Il s’agira de conforter les connaissances vues en classe de 1ère sur le produit scalaire et de généraliser ce concept à l’espace.

Différentes approches sont possibles, selon que l’on se place dans un repère ou pas. Ce choix sera à prendre en charge progressivement par l’élève.

Ce chapitre sera l’occasion de s’interroger sur la notion d’angle dans l’espace, et des possibilités d’évaluer leur mesure.

Le produit scalaire permet enfin de caractériser l’orthogonalité et de donner un cadre numérique à ce concept géométrique.

détails

Activités

Une fiche préparatoire sur le produit scalaire

Plan de travail

Cours

Chap 11 : Orthogonalité et distances dans l’espace

  1. Produit scalaire dans l’espace
  2. Orthogonalité dans l’espace
  3. Vecteur normal, projeté orthogonal
  4. Calculs de distance

Fiche

Une fiche de travail pour introduire la notion d’équation cartésienne de plan.

Fiches vertes / Exercices

Pour aller plus loin

VACANCES D’HIVER

De la fonction exponentielle à la fonction logarithme

Nous allons utiliser la fonction exponentielle pour introduire, point par point, la fonction logarithme népérien.

Ceci permettra de définir une nouvelle fonction, dont nous allons étudier les propriétés (relation fonctionnelle, dérivabilité, limites ...)

Dans un troisième temps, nous ferons le lien avec le logarithme décimal et ses applications dans d’autres domaines (notamment en physique chimie)

détails

Activité

  • résoudre e^{x}=k : combien de solutions selon la valeur de k ?
  • résoudre e^{x}=0,1 / 0,5 / 1 / 2 / 5 /10 : comment faire ?
  • utilisation de l’algorithme (dichotomie ou méthode par balayage)
  • que cherche-t-on à faire ? recherche d’antécédents de la fonction exponentielle ; on construit une nouvelle fonction (la fonction exponentielle "à l’envers" ; on dit réciproque)
  • construction "point par point" de cette fonction
  • suite de la construction de la fonction joignant les points solution de exp(x)=k
  • propriétés de la courbe par rapport à celle de la fonction exp ?

premiers résultats

  • premières propriétés de la fonction ln à partir de celles de la fonction exponentielle
    • liens avec la fonction exp
    • deux valeurs particulières (en 1 et en e)
    • la dérivée de la fonction ln
    • sens de variation
    • signe
    • relations ln a = ln b et ln a < ln b

Cours

Chap 6 : Fonction logarithme népérien

  1. La fonction logarithme népérien
  2. Relation fonctionnelle
  3. Étude des limites liées à la fonction ln
  4. Fonction ln et logarithme décimal

Fiches vertes / Exercices

Pour aller plus loin

Énoncé / correction

Ici un document pour aider à comprendre le travail des géomètre au cours de l’histoire ; la partie concernant le logarithme népérien est à la page 13.

Et puis ...

  • Activité type 1 p 198 (Math’x) : résolution d’équation du type e^x=k
  • Approche historique sur l’intérêt des tables logarithmiques
  • Activité permettant de conjecturer puis de démontrer les propriétés de la fonction logarithme népérien

TICE

  • Utilisation de logiciels de géométrie pour construire la courbe représentative de la fonction réciproque de la fonction exponentielle
  • Détermination de résultats sur les limites par conjectures, en utilisant les courbes représentatives ou les valeurs d’un tableur
  • Utilisation de calculs formels (XCas) pour transformer des écritures utilisant des logarithmes (activités mentales)

Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Ce chapitre est l’occasion d’exploiter les propriétés géométriques vues pour les droites et les plans de l’espace dans un repère et utiliser de manière pertinente cet aspect ’géométrie analytique’ pour résoudre des problèmes d’intersections (deux droites, une droite et un plan, deux plans) ainsi que des problèmes de distances.

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Cours

Chap 12 : Représentations paramétriques et équations cartésiennes

  1. Représentations paramétriques
  2. Équations cartésiennes d’un plan

Fiches

VACANCES DE PRINTEMPS

L’aire sous une courbe : de sa découverte à ses applications

Par une activité, nous découvrirons à quoi peut servir de déterminer l’aire sous une courbe.

Nous tenterons ensuite d’approcher l’aire sous la courbe d’une parabole sur un intervalle donné, puis découvrir le lien entre le calcul intégral et la notion de primitive.

détails

Activité

  • activité de recherche : Jules et Jim se sont donnés rendez-vous dans un café entre 19h et 20h. Ils peuvent arriver à tout moment entre 19h et 20h. que peut-on dire du temps d’attente du premier arrivé ?

ou

une activité d’introduction à l’intérêt d’utiliser une aire sous une courbe

Cours

Chap 8 : Calcul intégral

  1. Intégrale d’une fonction continue et positive
  2. Calcul de l’intégrale d’une fonction continue
  3. Propriétés des intégrales

Fiches vertes / Exercices

Pour aller plus loin

Énoncé / correction

Un complément au cours de mécanique avec un lien entre le cours de maths et ce qui a été fait en cours de sciences physiques.

Et puis ...

  • aire sous la parabole : visualisation à l’aide de CaRMetal
    Zip - 1008 octets
    activité 2 p 184

TICE

  • Activité basée sur les diagrammes de Gini
  • Activité type 1 p 230 (Math’x) : aire sous la parabole
  • activité sur la valeur moyenne d’une fonction (dont on donne une courbe représentative, ou dont on une table)
  • approcher l’aire sous la courbe d’une parabole
    • utilisation de Géogébra ou CaRMetal
    • approche algorithmique

Au-delà d’un angle aigu : les fonctions sinus et cosinus

En prolongeant ce qui a été vu en classe de 1ere en trigonométrique, on définira les fonctions cosinus et sinus et les étudierons.

Ce sera l’occasion d’enrichir le panel de fonctions de références et d’étudier la continuité, la dérivabilité et certaines limites liées à ces fonctions.

détails

Activités

Utilisation du cercle trigonométrique :

Zip - 1.4 ko
fonctions trigonométriques

Cours

Chap 5 : Fonctions trigonométriques

  1. Les fonctions sinus et cosinus
  2. Équations et inéquation avec cosinus
  3. Équations et inéquations avec sinus

Fiche

Une fiche sur des calculs de limites et une sur du calcul intégral utilisant des fonctions trigonométriques.

Fiches vertes / Exercices

Pour aller plus loin

Loi des grands nombres

détails

Titre 1

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Titre 2

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Titre 3

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