Progression

mardi 31 juillet 2018
par  Florent Girod

PROGRESSION POUR LA CLASSE DE TERMINALE S

Il s’agit de l’organisation prévisionnelle des cours durant l’année.


Loi binomiale

Par l’intermédiaire d’une activité de recherche tirée du problème historique dit "problème des partis", on se replongera dans des calculs liés à la loi binomiale.

Ici le parcours loi binomiale qui reprend les notions vues en 1ere S


Suites arithmétiques et géométriques

On repart d’activités nécessitant des modélisations par des suites ; ces suites sont-elles arithmétiques ? géométriques ? un peu des deux ?

On verra comment traiter ce type de problème de manière efficace.

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Activités

Diverses activités amenant à des modélisation par des suites numériques :

fiche d’activités de modélisation

pour la 4ème situation, un extrait d’article pour aider à modéliser ; ici, l’article dans son intégralité (l’article dans son entier est d’un niveau très ardu !)

fiche de savoir-faire de 1ère : étudier et représenter une suite numérique


Fonctions : compléments sur la dérivation

En partant des connaissances vues en classe de 1ère S, il s’agit d’une part d’asseoir l’intérêt du calcul de dérivée d’une fonction dans différents cadres, d’autre part de consolider les techniques de dérivation et de les élargir à d’autres types de fonctions.

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Cours

Chap 3 (Compléments sur les fonctions numériques)

  1. Compléments sur la dérivation
  2. Les fonctions sinus et cosinus

Activités

Un travail de groupe collaboratif pour maîtriser l’ensemble des formules sur la dérivation.

Pour bien comprendre ce qu’est la tangente à une courbe.

Un problème d’optimisation :

  • On prend une feuille de papier de format 21x29,7. Comment la plier pour former une boîte (sans couvercle), de volume maximal ?


S’approcher de l’infini pas à pas

Il s’agira, en partant des connaissances de la classe de 1ère S - en particulier pour tout ce qui concerne les suites géométriques - de démontrer "proprement" les formules mises en place alors, grâce au principe de récurrence.

Le second objectif de la séquence est de s’interroger sur la notion de limite d’une suite.

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Cours

Chap 1 (Suites numériques)

  1. Raisonnement par récurrence
  2. Limite finie ou infinie d’une suite
  3. Limites et comparaison
  4. Convergence de certaines suites

Activités

Après s’être interrogé sur le nombre de diagonales que comporte un polygone (convexe) à n côtés, quelques formules vues en 1ère sont démontrées en utilisant le principe de récurrence.

Ici, les fiches n°1 et 2 pour aborder la notion de limite d’une suite numérique.

Et puis ...

  • Activité type "débat scientifique"
    • la suite (-n)^n a-t-elle une limite infinie ?
    • Une suite peut-elle avoir plusieurs limites ?
    • Traduire formellement la notion de limite finie pour une suite
    • Traduire formellement la notion de limite infinie pour une suite
  • Activité type 3 p 23 (Math’x) : suite définie par une fonction
  • Activité type 1 p 28 (Math’x) : suite à expliciter
  • Activité sur la somme des carrés (à partir de la construction d’une pyramide avec des petits cubes)
    • recherche d’une formule explicite en utilisant (k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1 sommé pour k allant de 0 à n.
    • recherche d’une formule en utilisant les "nombres pyramidaux"
    • démonstration de la formule par récurrence
  • Activité de synthèse sur les suites en manipulant des bandelettes de papier

TICE

  • Utilisation du tableur (ou de la calculatrice) pour calculer les premiers termes d’une suite afin d’émettre des conjectures.
  • Calculs par boucle pour une somme du type \sum\limits_{k=0}^{n}k^2
    • écriture d’un algorithme
    • programmation sur calculatrice ou sur XCas

Du discret au continu : interpoler entre deux valeurs d’une suite géométrique

En partant d’une situation connue (suite géométrique), comment déterminer une valeur "entre" deux valeurs connues ? Il s’agit de "prolonger" les données de la suite par une fonction qui aura des propriétés communes, en particulier la relation fonctionnelle f(a+b)=f(a)\times f(b). On déterminera l’équivalence entre cette relation et la relation différentielle du type f'(x)=kf(x) amenant à la définition de la fonction exponentielle.

Le second objectif de la séquence est de mettre en place les propriétés de la fonction exponentielle.

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Cours

Chap 4 (Fonction exponentielle)

  1. La fonction exponentielle
  2. Propriétés de la fonction exponentielle
  3. Étude de la fonction exponentielle
  4. Fonctions de la forme e^{u(x)}

Et puis ...

  • Activité type 2 p 64 (Math’x) complété : travail collaboratif par groupes
    • un problème complexe est présenté
    • chaque groupe a une partie du problème à traiter
    • les groupes sont éclatés pour résoudre le problème dans son ensemble
    • bilan commun
  • Activité type 2 p 74 (Math’x) : réinvestissement de notions sur la tangente à une courbe
    • une conjecture est établie
    • conjecture à démontrer

VACANCES DE LA TOUSSAINT


Des évènements successifs en probabilité

En préambule, un problème pouvant être traité par simulations est présenté (la course entre le lièvre et la tortue) ; ce problème peut être résolu plus efficacement par une approche probabiliste : le lien entre les deux approches est fait ; la notion de fluctuation d’échantillonnage est alors réinvestie.

Il s’agit d’une part de consolider les notions vues en classe de 1ère S sur les probabilités en général, et de voir comment étaient traités des exercices traitant d’évènements successifs d’une même expérience aléatoire.

Les formules utilisées "empiriquement" sur les arbres pondérées seront démontrées par les théorèmes rencontrés dans ce chapitre.

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Cours

Chap 10 (Probabilités conditionnelles)

  1. Probabilité conditionnelle
  2. Indépendance de deux évènements

Activité

Enzo est garagiste, spécialisé en voitures italiennes : il a 180 voitures dans son garage ; les deux cinquièmes sont des Ferrari. Les sept neuvièmes des Ferrari sont rouges. Quelle est la proportion de Ferrari rouges dans son garage ?

  • comment le résoudre efficacement ?
  • comment modifier la consigne pour que ce problème devienne un problème mettant en jeu des probabilités ?
  • quelle règle habituellement appliquée dans les arbres pondérés retrouve-t-on ?

Fiches vertes / Exercices

Fiches vertes / correction

entraînement - consolidation / correction

un test d’entraînement

correction du test et des exercices du plan de travail

correction de l’exercice de synthèse : n°72 p 351

Et puis ...

  • modélisation d’un problème (course lièvre tortue) sur tableur ou sur calculatrice ou sur XCas (utilisation de boucles dans ces deux derniers cas)
  • comparaison entre des simulations faites par un outil informatique (ou calculatrice) et des calculs de probabilités issus d’un modèle
  • Dans le cas du problème de la course entre le lièvre et la tortue, quel est l’intérêt de faire une simulation ? Quand est-elle indispensable ?
  • Comment, au Collège, peut-on illustrer le produit de fractions ? Le lien entre une proportion de proportion et des probabilités sera établi.
  • Activité type 1 p 380 (Math’x) : un problème concret pour aborder la notion de probabilité conditionnelle
  • Activité type 2 p 381 (Math’x) : un modèle en génétique

Au-delà des nombres réels : les nombres complexes

A partir d’un problème historique (résolution d’une équation du troisième degré), on verra comment un mathématicien a eu l’audace de "forcer" les habitudes pour aboutir à la création de nombres dits complexes.

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Cours

Chap 7 (Nombres complexes)

  1. L’ensemble \mathbb{C}
  2. Conjugué et résolution d’équation du second degré
  3. Représentation géométrique
  4. Forme trigonométrique et propriétés sur module et argument
  5. Notation exponentielle et applications

Activité

Conjecturer le nombre de racines d’un polynôme du troisième degré.

Un point ’historique’ : Cardan, Bombelli, naissance d’un nombre imaginaire

Et puis ...

  • Activité type 1 p 266 (Math’x) : point histoire
  • utilisation de la calculatrice pour conjecturer l’allure des courbes représentant des polynômes du troisième degré

Du discret au continu : notion de limite d’une fonction

Il s’agit de réinvestir les notions de limites vues dans le cadre des suites numériques pour les fonctions. Le passage à la notion de limite en l’infini est facilement adaptable. Il faudra formaliser de la même manière la notion de limite (finie ou infinie) en un point.

Les méthodes permettant de déterminer les limites de fonctions seront présentées (opérations sur les limites, composition de limites, cas des polynômes et des fractions rationnelles)

Les limites aux bornes de la fonction exponentielle seront étudiées.

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Cours

Chap 2 (Limites et continuité)

  1. Limite d’une fonction à l’infini
  2. Limite d’une fonction en un réel a
  3. Détermination de limites
  4. Continuité

Chap 4 (Fonction exponentielle)

  1. La fonction exponentielle
  2. Propriétés de la fonction exponentielle
  3. Étude de la fonction exponentielle
  4. Fonctions de la forme e^{u(x)}

Activité

Une activité d’introduction à la notion de limite d’une fonction à l’infini.

Et puis ...

  • Activité type 2 p 160 (Math’x) : étude des fonctions x\mapsto \frac{2x+5}{x+1} et x\mapsto \frac{sin(x)}x
  • Activité type 3 p 161 (Math’x) : étude de la fonction x\mapsto \frac{1}{x^2} au voisinage de 0
  • Activité type "débat scientifique"
    • une conjecture est proposée : "une fonction admet pour limite" +\infty en +\infty \Leftrightarrow "la fonction n’est pas majorée"
    • Vrai / Faux ?
    • formalisation de la notion de limite en +\infty pour une fonction
  • Activité type 4 p 161 (Math’x) : travail sur la composée de deux fonctions pour l’étude des limites
  • Méthodes concernant les polynômes et les fractions rationnelles en cas de forme indéterminée par les théorèmes généraux
  • utilisation de la table de la calculatrice pour émettre des conjectures sur les limites de fonctions
  • utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique pour traiter la limite de x\mapsto \frac{1}{x^2} en 0 ; utilisation du zoom

Au-delà du plan : l’espace

En partant des résultats connus dans le plan, nous allons généraliser certains résultats en se posant quelques questions comme la définition du parallélisme dans l’espace.

Il s’agira ensuite de généraliser la notion de vecteur et de repère dans l’espace, et de donner différentes expression d’une droite et d’un plan dans un repère.

Enfin, il faudra être en mesure de choisir le bon cadre pour traiter un exercice de géométrie dans l’espace : cadre vectoriel ou non, repéré ou non.

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Cours

Chap 8 (Droites et plans de l’espace - Vecteurs)

  1. Positions relatives de droites et de plans
  2. Les vecteurs de l’espace
  3. Repères de l’espace

Pour aller plus loin

Un cours (post bac) sur l’étude de courbes en coordonnées paramétriques.

TICE

Zip - 619 octets
act5p259
Zip - 587 octets
tp15p269
Zip - 887 octets
droite
Zip - 1 ko
plan

Et puis ...

  • Activité type "débat scientifique"
    • dans un cube ABCDEF, peut-on dire que les droites (AB) et (EH) sont parallèles ?
    • comment définir le parallélisme dans l’espace ?
  • Activité type 2 p 304 (Math’x) : vecteurs coplanaires
  • Activité type 3 p 304 (Math’x) : repérer un point dans l’espace
  • Représentation paramétrique d’une droite et d’un plan.
  • utilisation du logiciel de géométrie dynamique pour l’espace : Géospace (avec une autre approche par rapport aux logiciels comme Géogébra et CaRMétal)
  • représentation paramétrique d’une droite : en faisant varier un paramètre, on construit une droite donnée. Même chose pour un plan en faisant varier deux paramètres simultanément.

VACANCES DE NOËL


Bac BLANC n°1


Du discret au continu : notion de continuité

Il s’agira de formaliser la notion de continuité, par une définition précise.

Cette notion de continuité permet, par le théorème des valeurs intermédiaires et ses applications, de justifier l’existence et l’unicité de solutions d’équations, sur un intervalle donné.

Outre l’aspect théorique, nous nous attacherons à résoudre de manière numérique ces équations, c’est-à-dire d’en donner des valeurs approchées, à une précision fixée à l’avance.

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Introduction

Une activité d’introduction : le calcul de l’impôt sur le revenu

Cours

Chap 2 (Limites et continuité)

  1. Limite d’une fonction à l’infini
  2. Limite infinie d’une fonction en un réel a
  3. Détermination de limites
  4. Continuité

Et puis ...

  • Activité type "débat scientifique"
    • après avoir tracé la représentation graphique de la fonction inverse, dites si cette fonction est continue ou pas
    • établir des conjectures, des précisions sur la consigne
    • définir correctement la notion de continuité
  • Activité type 2 p 36 (Math’x) : nombre de solutions d’une équation f(x)=m

TICE

  • détermination théorique de solution d’équation (par le théorème des valeurs intermédiaires) : détermination pratique par différentes méthodes
    • dichotomie (algorithme à créer et à mettre en place sur calculatrice ou XCas)
    • méthode par "balayage" à mettre en place sur tableur ou calculatrice

De la fonction exponentielle à la fonction logarithme

Nous allons utiliser la fonction exponentielle pour introduire, point par point, la fonction logarithme népérien.

Ceci permettra de définir une nouvelle fonction, dont nous allons étudier les propriétés (relation fonctionnelle, dérivabilité, limites ...)

Dans un troisième temps, nous ferons le lien avec le logarithme décimal et ses applications dans d’autres domaines (notamment en physique chimie)

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Activité

  • résoudre e^{x}=k : combien de solutions selon la valeur de k ?
  • résoudre e^{x}=0,1 / 0,5 / 1 / 2 / 5 /10 : comment faire ?
  • utilisation de l’algorithme (dichotomie ou méthode par balayage)
  • que cherche-t-on à faire ? recherche d’antécédents de la fonction exponentielle ; on construit une nouvelle fonction (la fonction exponentielle "à l’envers" ; on dit réciproque)
  • construction "point par point" de cette fonction
  • suite de la construction de la fonction joignant les points solution de exp(x)=k
  • propriétés de la courbe par rapport à celle de la fonction exp ?

premiers résultats

  • premières propriétés de la fonction ln à partir de celles de la fonction exponentielle
    • liens avec la fonction exp
    • deux valeurs particulières (en 1 et en e)
    • la dérivée de la fonction ln
    • sens de variation
    • signe
    • relations ln a = ln b et ln a < ln b

Cours

Chap 5 (Logarithme népérien)

  1. La fonction logarithme népérien
  2. Relation fonctionnelle
  3. Étude des limites liées à la fonction ln
  4. Fonction ln et logarithme décimal

Pour aller plus loin

Énoncé / correction

Ici un document pour aider à comprendre le travail des géomètre au cours de l’histoire ; la partie concernant le logarithme népérien est à la page 13.

Et puis ...

  • Activité type 1 p 198 (Math’x) : résolution d’équation du type e^x=k
  • Approche historique sur l’intérêt des tables logarithmiques
  • Activité permettant de conjecturer puis de démontrer les propriétés de la fonction logarithme népérien

TICE

  • Utilisation de logiciels de géométrie pour construire la courbe représentative de la fonction réciproque de la fonction exponentielle
  • Détermination de résultats sur les limites par conjectures, en utilisant les courbes représentatives ou les valeurs d’un tableur
  • Utilisation de calculs formels (XCas) pour transformer des écritures utilisant des logarithmes (activités mentales)

L’aire sous une courbe : de sa découverte à ses applications

Par une activité liée à l’économie, nous découvrirons à quoi peut servir de déterminer l’aire sous une courbe.

Nous tenterons ensuite d’approcher l’aire sous la courbe d’une parabole sur un intervalle donné, pour découvrir une propriété plus générale introduisant la notion de primitive.

La primitive d’une fonction a été vue comme recherche "à l’envers" d’une dérivée lors d’un chapitre précédent.

Le calcul intégral sera finalisé par l’utilisation des primitives.

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Activité

une activité d’introduction à l’intérêt d’utiliser une aire sous une courbe

Cours

Chap 6 (Calcul intégral)

  1. Intégrale d’une fonction continue et positive
  2. Primitives d’une fonction continue
  3. Calcul de l’intégrale d’une fonction continue
  4. Propriétés des intégrales

Pour aller plus loin

Énoncé / correction

Un complément au cours de mécanique avec un lien entre le cours de maths et ce qui a été fait en cours de sciences physiques.

Et puis ...

  • aire sous la parabole : visualisation à l’aide de CaRMetal
    Zip - 1008 octets
    activité 2 p 184

TICE

  • Activité basée sur les diagrammes de Gini
  • Activité type 1 p 230 (Math’x) : aire sous la parabole
  • activité sur la valeur moyenne d’une fonction (dont on donne une courbe représentative, ou dont on une table)
  • approcher l’aire sous la courbe d’une parabole
    • utilisation de Géogébra ou CaRMetal
    • approche algorithmique

VACANCES D’HIVER


Du discret au continu en probabilité

Des lois de probabilité ont été étudiées en classe de 1ère S pour modéliser des problèmes discrets. Il s’agit à présent de modéliser des problèmes continus.

Ce changement de point de vue (passage du discret au continu) aura une influence sur la définition d’une probabilité : ce passage exige la définition d’une densité de probabilité.

Deux lois importantes sont présentées comme référence : la loi uniforme et la loi exponentielle, cette dernière pouvant modéliser des phénomènes physiques.

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Activités

  • travail à partir des données du geyser Old Faithfull
    • résumé statistique
    • représentation des données
    • travail sur le tableur en classe
    • méthode pour représenter les informations
    • détermination de classes (pas forcément de même taille)
      Excel - 161.5 ko
      données old faithful

Cours

Chap 11 (Lois de probabilité continues)

  1. Lois de probabilité à densité
  2. Loi uniforme
  3. Loi exponentielle
  4. Loi normale centrée réduite
  5. Propriétés de la loi normale centrée réduite
  6. Lois normales

Et puis...

  • Activité type 1 p 398 (Math’x) : loi uniforme et densité
  • Activité type 2 p 399 (Math’x) : loi exponentielle

TICE

  • Utilisation de Géogébra pour "visualiser" le passage du discret au continu, et le rôle joué par l’aire sous la courbe.
  • Confronter des simulations aux modèles probabilistes (par tableur ou par simulation)

Au-delà d’un angle aigu : les fonctions sinus et cosinus

En partant de la définition vue au Collège pour le sinus et le cosinus d’un angle aigu, nous généraliserons cette définition, en visualisant, à partir d’un angle de mesure x, les angles de mesure -x, x+\pi et \pi-x en s’appuyant sur le cercle trigonométrique.

Ce sera l’occasion d’enrichir le panel de fonctions de références et d’étudier la continuité, la dérivabilité et certaines limites liées à ces fonctions.

détails

Activités

Utilisation du cercle trigonométrique :

Zip - 1.4 ko
fonctions trigonométriques

Cours

Chap 3 (Compléments sur les fonctions numériques)

  1. Compléments sur la dérivation
  2. Les fonctions sinus et cosinus

Fiche

Une fiche sur des calculs de limites et une sur du calcul intégral utilisant des fonctions trigonométriques.


Au-delà du plan : l’espace

Il s’agira de conforter les connaissances vues en classe de 1ère S sur le produit scalaire, et de généraliser ce concept à l’espace.

Différentes approches sont possibles, selon que l’on se place dans un repère ou pas. Ce choix sera prendre en charge progressivement par l’élève.

Ce chapitre sera l’occasion de s’interroger sur la notion d’angle dans l’espace, et des possibilités d’évaluer leur mesure.

Le produit scalaire permet enfin de caractériser l’orthogonalité et de donner un cadre numérique à ce concept géométrique.

détails

Activités

Une fiche préparatoire sur le produit scalaire

Cours

Chap 9 (Produit scalaire de l’espace)

  1. Produit scalaire dans l’espace
  2. Applications du produit scalaire

Fiche

Une fiche de travail pour introduire la notion d’équation cartésienne de plan.


Entre géométrie et numérique : les nombres complexes

Les nombres complexes ont été vus dans un premier temps. Il s’agit dans cette partie de faire le lien entre l’écriture algébrique d’un nombre complexe et sa représentation géométrique.

Une autre manière de repéré un point est abordée, par le biais du module et de l’argument d’un nombre complexe.

Nous ferons enfin remarquer que l’écriture sous forme trigonométrique répond à l’équation fonctionnelle de la fonction exponentielle, ce qui justifie la notation exponentielle d’un nombre complexe.

Cette dernière écriture permet de retrouver les formules d’additions et de duplication d’angle pour le sinus et le cosinus.

détails

Activité

une première fiche ; en complément, une animation informatique :

Zip - 1.3 ko
coord polaires / cartésiennes

Cours

Chap 7 (Nombres complexes)

  1. L’ensemble \mathbb{C}
  2. Conjugué et résolution d’équation du second degré
  3. Représentation géométrique
  4. Forme trigonométrique et propriétés sur module et argument
  5. Notation exponentielle et applications

Fiche

Une fiche pour montrer le lien enter nombres complexes et géométrie.

Pour aller plus loin

Ici un cours (post bac) montrant la méthode d’étude d’une courbe donnée en polaire ; vous pourrez étudier les courbes tracées en activité, ou d’autres de votre choix.


VACANCES DE PRINTEMPS


Bac Blanc n°2


Du discret au continu en probabilité

La loi binomiale a été étudiée en 1ère S. Nous verrons dans ce chapitre comment approchée cette loi par une loi continue qui joue un rôle important en probabilité : la loi normale.

Il faudra mettre en place la démarche de centrer et réduite la loi binomiale pour aboutir à une loi discrète qui pourra être approchée sous certaines conditions par la loi normale.

Cette loi normale nécessite une maîtrise de nombreuses notions vues tout au long de l’année (aire sous la courbe, utilisation de la calculatrice ...).

détails

Activité

Une activité pour approcher une loi binomiale par une "courbe en cloche".

Cours

Chap 11 (Lois de probabilité continues)

  1. Lois de probabilité à densité
  2. Loi uniforme
  3. Loi exponentielle
  4. Loi normale centrée réduite
  5. Propriétés de la loi normale centrée réduite
  6. Lois normales

Fiches

Une première fiche sur la loi normale centrée réduite, une seconde fiche sur la notion d’intervalle de fluctuation asymptotique.

Pour aller plus loin

Un cours (type post bac) reprenant le cours présenté en Terminale avec un complément sur ce qu’on appelle "la correction de continuité" permettant d’approximer au mieux une loi binomiale par une loi normale.

On pourra aussi jeter un oeil au carnet de santé (autour des pages 80) qui recèle de nombreuses données statistiques et peut être le sujet d’exercices de probabilité. On s’interrogera notamment sur le fait que le poids est représenté par des notions liés aux quartiles, alors que la taille utilise les ’déviations standards’ qui sont en fait les écarts-types.

PDF - 3.3 Mo
carnet de santé

Pour aller plus loin que les données réelles : un modèle probabiliste

La loi binomiale a permis en 1ère S d’aborder la fluctuation d’échantillonnage. Grâce à l’approximation d’une loi binomiale par une loi normale (sous certaines conditions), nous pourrons donner un intervalle de fluctuation de manière plus efficace (nécessitant moins de calculs).

Cette approximation permettra également d’expliquer une formule utilisée en seconde : \Big[\;p-\frac1{\sqrt n}\;;\;p+\frac1{\sqrt n}\;\Big]

Enfin, nous "retournerons" le problème pour mettre en avant la notion d’intervalle de confiance, permettant d’extrapoler des résultats.

détails

Cours

Chap 12 (Échantillonnage et estimation)

  1. Échantillonnage
  2. Prise de décision à partir d’un échantillon
  3. Estimation d’une proportion

Et puis...

Activités

  • Activité type 1 p 434 (Math’x) : un intervalle de fluctuation "asymptotique"
  • Activité type 2 p 435 (Math’x) : à la recherche d’intervalle de "confiance"

TICE

  • Utilisation de Géogébra pour visualiser l’approximation d’une loi binomiale par une loi normale.
  • Par tableur, visualiser le fait que la "moyenne" de lois uniformes se rapproche d’une loi normale
  • Utilisation de la calculatrice pour déterminer des probabilités pour des lois normales (centrée réduite ou non)